Sim — você ainda receberá notificações de novos e-mails mesmo que o aplicativo não esteja em execução. Isso é chamado de notificações push.
Se o push instantâneo está disponível para uma determinada conta depende da própria conta: não é oferecido para contas POP3, alguns provedores desativam-no para os seus próprios servidores, e no Android ele é oferecido apenas para contas nas quais você entrou através da página de login do próprio provedor em vez de usar uma senha. Onde o push instantâneo não está disponível você ainda pode usar Busca Frequente, que verifica novos e-mails em um cronograma. Veja métodos de notificação].
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